2

Dédicace

Je dédie ce modeste travail au Professeur Docteur Ingénieur BASSESUKA SANDOKA Nzao Antoine.  
3
Remerciements

Mes remerciements vont tout premièrement à Dieu tout
Puissant pour la volonté, la santé, et la patience, qu’il m’a donné durant toutes mes recherches.
Ainsi, je tiens également à exprimer mon vif remerciement à mon encadreur le Professeur Docteur Ingénieur BASSESUKA SANDOKA NZAO Antoine pour avoir d’abord proposé ce thème, pour suivi continuel tout le long de la Réalisation de ce projet de recherche, et qui n’a pas cessé de ma donner ses conseils et remarques.
Enfin je tiens à exprimer mes reconnaissances à tous mes amis et collègues pour le soutien moral.

CONTENU

CONSIDERATION GENERALES SUR LA CEM
INTRODUCTION………………………………………………………………………………………………………… 3
I. l’électromagnétisme …………………………………………………………………………………………………… 4
II. L’importance de la notion du champ électromagnétique ; la propagation d’onde………………………… 5
III. La compatibilité électromagnétique (CEM)……………………………………………………………………… 5
III.1Définition………………………………………………………………………………………………………… 5
III.2 Perturbation électromagnétique……………………………………………………………………………… 6
III.3 Sources de perturbation électromagnétique………………………………………………………………… 7
III.3.1 Classification des sources de perturbations…………………………………………………………… 7
III.3.2 Sources de perturbation électromagnétique permanentes et transitoires ………………………… 9
IV. Couplage électromagnétique ……………………………………………………………………………………… 10
IV.1 Couplage par conduction directe …………………………………………………………………………… 10
IV.2 Couplage par champ ………………………………………………………………………………………… 10
IV.2.1 Couplage en champ proche …………………………………………………………………………… 10
IV.2.1.1 Couplage par un champ électrique …………………………………………………………… 10
IV.2.1.2 Couplage par champ d’induction magnétique ………………………………………………… 11
IV.2.2 Couplage en champ lointain …………………………………………………………………………… 12
V. Modes de propagation………………………………………………………………………………………………… 14
V.1. Mode différentiel ……………………………………………………………………………………………… 14
V.2. Mode commun ………………………………………………………………………………………………… 15
VI. Equations de Maxwell ……………………………………………………………………………………………… 16
VI.1 Forme locale ou différentielle ……………………………………………………………………………… 16
VI.2 Forme globale ou intégrale ………………………………………………………………………………… 17
VI.3 Loi de conservation de la charge …………………………………………………………………………… 18
VI.4 Conditions aux limites ………………………………………………………………………………………… 18
Conclusion…………………………………………………………………………………………………………………. 20
……………………………………………………………………………………………… 1

ANALYTIQUE DE L’ONDE DE CHOC DU
INTRODUCTION ……………………………………………………………………………………………………… 21
I. Description du phénomène orageux ……………………………………………………………………………… 22
II. Types de décharges de foudre ……………………………………………………………………………………… 23
III. Traceur par bonds ………………………………………………………………………………………………… 23
III.1 Définition ……………………………………………………………………………………………………… 23
III.2 Types de Traceurs par bonds…………………………………………………………………………….…… 24
IV. Types de coups de foudre nuage-sol ……………………………………………………………………………… 24
V. Le processus de la décharge négative nuage-sol ………………………………………………………………… 25
V.1 Le traceur par bond …………………………………………………………………………………………… 25
V.2 Le processus d’attachement …………………………………………………………………………………… 26

CONTENU

V.3 L’arc de retour ………………………………………………………………………………………………… 26
V.4 Le traceur continu et arc de retour subséquents …………………………………………………………… 26
VI. Effets de la foudre……………………………………………………………………………………………………. 27
VI.1 Effets électromagnétiques …………………………………………………………………………………… 27
VI.1.1 Effets d’un coup de foudre direct sur un réseau électrique … ……………………………………… 28
VI.1.2 Effets des coups de foudre indirects sur un réseau électrique ……………………………………… 29
VII. Observations expérimentales …………………………………………………………………………………….. 29
VII.1 Enregistrement du phénomène onde de foudre …………………………………………………………… 30
VII.1.1 La méthode passive …………………………………………………………………………………… 30
VII.1.2 La méthode active ……………………………………………………………………………………… 30
VII.2 Courant de l’arc en retour ………………………………………………………………………………… 31
VII.3 vitesse de l’arc en retour……………………………………………………………………………………… 33
VII.4 Modélisation du courant à la base du canal de foudre ………………………………………………… 33
VII.5 Modélisation de la distribution du courant de foudre le long du canal ……………………………… 34
VII.5.1 Géométrie du problème………………………………………………………………………………… 35
VII.5.2 Présentation des modèles existants…………………………………………………………………… 36
VII.5.2.1 Modèle de Bruce et Gold (BG)………………………………………………………………… 36
VII.5.2.2 Modèle « Ligne de Transmission » (Transmission Line, TL) ………………………………… 37
VII.5.2.3 Modèle « Source de Courant Mobile » (Travelling Current Source, TCS) ……………… 37
VII.5.2.4 Modèle « ligne de transmission modifié » (Modified Transmission Line MTL) …………… 38
Conclusion…………………………………………………………………………………………………………………. 40

INTRODUCTION ……………………………………………………………………………………………………….
41
Champ électromagnétique généré par une décharge orageuse ……………………………………………… 42
I.1 Observations expérimentales ………………………………………………………………………………… 42
Modélisation du champ électromagnétique …………………………………………………………………… 43
II.1 Formules du champ électromagnétique …………………………………………………………………… 43
II.1.1 Rappel des équations de Maxwell dans le vide ……………………………………………………… 43
II.1.1.1 Le champ électromagnétique rayonné en présence d’un sol parfaitement conducteur … 44
II.1.1.1.1 Calcul du champ électromagnétique en coordonnées cartésiennes ……………… 47
II.1.1.2 Le champ électromagnétique rayonné en présence d’un sol de conductivité finie …… 48
II.1.1.2.1 Cas ou le point d’observation est situé au-dessus de la surface du sol ………… 48
II.1.1.2.1.1 Calcul du champ horizontal à l’aide de la fonction « Wavetilt » ………… 48
II.1.1.2.1.2 Calcul du champ horizontal à l’aide de l’approche de «Rubinstein » …… 48
II.1.1.2.2 Cas ou le point d’observation est situé au-dessous de la surface du sol ……….. 49
Conclusion ……………………………………………………………………………………………………………… 51
ELECTROMAGNETIQUE FOUDRE

CONTENU

INTRODUCTION ………………………………………………………………………………………………………    52 

I. Courant à la base du canal…………………………………………………………………………………………. 53
II. Représentation de la distribution spatiale et temporelle du courant de l’arc en retour le long du canal
pour les différents modèles…………………………………………………………………………………………….. 55
III. Calcul des champs électrique et magnétique émis par le canal de foudre ……………………………… 58
III.1 Point d’observation au-dessus du sol…………………………………………………………………….. 58
III.1.1 Cas d’un sol parfait ……………………………………………………………………………………. 58
III.1.2 Cas d’un sol de conductivité finie ………………………………………………………………….. 60
III.2 Point d’observation au-dessous du sol ………………………………………………………………………………………. 62
III.3 L’influence du taux de décroissance et de la vitesse de l’arc en retour sur le champ
électromagnétique ……………………………………………………………………………………………………………………………….. 63 Conclusion………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 68

  …………………………………………………………………………………………………     69 
………………………………………………………………………………………   70 

INTRODUCTION

Introduction
Devant la complexité croissante des réseaux d’énergie électrique, les exploitants ont installé un grand nombre de dispositifs électroniques de contrôle de commande. Ainsi, en parallèle avec le réseau d’énergie, on trouve un véritable réseau de télécommunication nécessaire au pilotage à distance des différents ouvrages. Parmi les informations transmises par ce réseau de télécommunication, on peut citer : Les ordres donnés par les centres de décision en direction des centres de conduite et les mesures effectuées en différents points du réseau et transmises au centre de décision.
Ce réseau de télécommunication constitue le système nerveux du réseau d’énergie électrique.
Il permet de gérer le réseau d’énergie en temps réel. Cependant, quand un champ électromagnétique perturbe ou endommage le système de contrôle –commande, le réseau en subit indirectement des conséquences : Les ordres des centres de décision peuvent être modifiés, et les systèmes de commande exécutent alors des actions inopportunes et parfois dangereuses. Les mesures faussées donnent des informations erronées aux centres de calcules, qui prennent des décisions inappropriées…
Dans un souci de fiabilité, les compagnies d’électricité cherchent donc à protéger leur réseau de contrôle-commande des effets néfastes des champs électromagnétiques. Les champs susceptibles de perturber le bon fonctionnement de ce réseau proviennent principalement de la foudre et des surtensions de manœuvres dans les postes de distribution. Plus précisément, parmi les sources électromagnétiques perturbatrices, on peut citer :
• Les phénomènes transitoires dus aux opérations des disjoncteurs et des sectionneurs.
• Les phénomènes transitoires dus aux perforations des diélectriques.
• Les champs électromagnétiques produits par le fonctionnement des installations en régimes permanent (fréquences du réseau)
• Les surtensions et les surintensités dues aux courts-circuits dans les systèmes de miser à la terre.
• Les phénomènes transitoires dus aux impacts directs ou indirects de la foudre. Ces phénomènes sont importants en particulier pour les réseaux d’énergie en raison de la hauteur des ouvrages.

• 1 –
  INTRODUCTION

• Les sources électromagnétiques non spécifiques aux réseaux d’énergie, comme les transitoires haute fréquence des équipements basse tension, les décharges électrostatiques, les émissions radio.
Qu’ils soient d’origine naturelle ou bien créés par le réseau lui-même, ces champs électromagnétiques engendrent des effets directs ou indirects. On parle d’effets directs quand le champ électromagnétique est suffisamment élevé pour endommager ou détruire un élément du réseau. On entend par effets indirects, les conséquences sur le réseau d’énergie du mauvais fonctionnement de son système de contrôle-commande perturbé par des champs électromagnétiques.
L’ingénieur a donc besoin de méthodes et d’outils de calculs pour déterminer les dégâts que subirait le réseau d’énergie ou son réseau de contrôle-commande en présence d’une perturbation électromagnétique.

• 2 –
  CHAPITRE I : CONSIDERATION GENERALES SUR LA CEM

Introduction

Dans notre travail nous nous intéressons à la modélisation de la foudre comme source de rayonnement.
Pour cet objectif, nous abordons ce premier chapitre qui nous permet d’introduire quelques notions utilisables par la suite de ce travail. Nous commençons par une définition de la notion de l’électromagnétisme et de la compatibilité électromagnétique, ainsi que les diverses sources de perturbation, puis une brève description sur les modes de couplage d’une onde électromagnétique avec un dispositif, un système où une ligne électrique…etc, et de la propagation des grandeurs parasites.
Enfin, nous donnons un aperçu sur les équations générales de Maxwell, ainsi que les conditions de passage dans milieux.

I. Qu’est-ce que l’électromagnétisme ?

De manière un peu vaque, on peut dire que l’un des buts de l’électromagnétisme consiste à étudier l’interaction entre les charges fixes où en mouvement. L’interaction entre des charges fixes dans un référentiel galiléen constitue le domaine de l’électrostatique. Des charges en mouvement produisent des courants ; l’interaction entre des courants permanents définis le domaine de la magnétostatique.
L’étude de ces interactions introduit de manière très naturelle la notion du champ : des charges fixes produisent un champ électrostatique E, des courants permanents produisent un champ magnétique B. Lorsque la position des charges et la répartition des courants dépendent du temps, ils engendrent un champ électromagnétique caractérisé en chaque point de l’espace par deux vecteurs : les champs E et B qui forment dans ce cas un couple (inextricable).
Les charges et les courants constituent les sources du champ électromagnétique ; les équations fondamentales de l’électromagnétique qui relient les sources au champ ; sont les équations de Maxwell. L’action d’un champ électromagnétique sur une charge q animé d’une vitesse v se traduit par la force de Lorentz :
F  q(E  v  B)
Cette loi qui complète les équations de Maxwell joue un rôle essentiel dans l’étude du mouvement de particules chargées.

II. L’importance de la notion du champ électromagnétique ; la propagation d’onde :
Il ne faut pas réduire l’électromagnétisme à un problème mécanique à distance entre charges et courants.
En effet, le champ électromagnétique n’est pas un simple intermédiaire de calcul pour exprimer la force de Lorentz, mais possède une certaine autonomie vis-à-vis de ses sources ; cette autonomie se manifeste en particulier à travers les phénomènes de propagation.
Le champ électromagnétique peut se propager dans le vide à la vitesse de la lumière en transportant de l’énergie, l’onde électromagnétique interagisse également avec la matière ; l’étude des ondes électromagnétiques réalise une des grandes synthèses de la physique puisqu’elle permet d’unifier dans un même cadre conceptuel les ondes radio, les micro-ondes, etc.
III. La compatibilité électromagnétique (CEM)

III.1 Définition :
La compatibilité électromagnétique (CEM) est l’aptitude d’un appareil ou d’un système électrique ou électronique à fonctionner dans son environnement électromagnétique de façon satisfaisante et sans produire lui-même des perturbations électromagnétiques intolérables pour tout ce qui se trouve dans cet environnement.
Une bonne compatibilité électromagnétique, décrit un état de « bon voisinage électromagnétique » :
• ne pas « trop » déranger les voisins.
• supporter un niveau « raisonnable » de bruit de leur part, ou plus généralement de l’environnement.
Les bruits électromagnétiques et radioélectriques sont le résultat de tous les courants électriques induisant une multitude de champs et signaux parasites.
 Il doit avoir un niveau d’immunité ou « susceptibilité » suffisamment élevé.
 Il ne doit pas émettre trop de perturbations.
L’amélioration de la CEM est obtenue par différents types d’actions [1]:

a. Diminution des sources externes :
Par exemple, nous pouvons réduire les perturbations dues aux décharges électrostatiques en augmentant l’humidité des locaux, en utilisant un sol antistatique etc.

b. Augmentation de la susceptibilité :
Un système électronique peut être « durci » en choisissant les composants les moins sensibles aux perturbations (différentes familles technologiques : TTL CMOS etc.)
c. Réduction des couplages :
Pour une source externe déterminée, le niveau de perturbations reçu par un appareillage dépend des couplages, c’est à dire du chemin de propagation entre la source et la victime.

Champ E Champ H

Susceptibilité  Rayonnement     Courants 
et  Parasites 

Conduction

Fig. I.1 – Concept de Compatibilité Electromagnétique.

III.2 Perturbation électromagnétique
Par «perturbation électromagnétique» il faut entendre: tout phénomène électromagnétique, notamment un bruit électromagnétique, un signal non désiré où une modification du milieu de propagation lui-même, susceptible de créer des troubles de fonctionnement d’un dispositif, d’un appareil où d’un système.
Tout problème de compatibilité implique :
• Une source de perturbations : qui émet de l’énergie électromagnétique ;
• Un canal de couplage : au travers duquel l’énergie de ces perturbations se propage ;
• Un récepteur (perturbé) : qui capte cette énergie, et la superposé à sa fonction normale. Si les perturbations reçues par ce dernier sont trop élevées et provoquent des interférences, alors on parle de victime de ces perturbations.

Fig. I.2 – Transmission des perturbations.
III.3 Sources de perturbation électromagnétique

III.3.1 Classification des sources de perturbations :
On peut classer les sources de perturbations électromagnétiques selon différents critères ; [2] le schéma I.3 ci-dessous récapitule ces différents critères.

Fig. I.3 – Classification des sources de perturbations..

• Leur origine
• Les sources de perturbation d’origine naturelle :
• Phénomènes atmosphériques dont la foudre au sens habituel du terme.
• Le bruit galactique.
• D’origine solaires ; tel que le bruit thermique terrestre.
• Les sources de perturbation qui proviennent de l’activité humaine (artificielle). Parmi ces sources, certaines sont :
• Intentionnelles : émetteurs radioélectriques, fours micro-ondes, fours à induction ;
• Non intentionnelles : systèmes d’allumage des moteurs à explosion, tous les systèmes d’enclenchement et de coupure d’un signal électrique, lampes à décharge, horloge des systèmes informatiques,
• Leur contenu fréquentiel
• Les perturbations Basses et Moyennes Fréquences (BF, MF) :
  Pour une plage de fréquence inférieure à 5 MHz. Ces perturbations se propagent essentiellement sous forme conduite par les câbles, et les lignes, elles sont souvent longues (quelques dizaines de ms), voire permanentes dans le cas d’harmonique. L’énergie conduite peut être importante, se traduisant en plus du dysfonctionnement par un risque de destruction du matériel.
  Les perturbations Hautes Fréquences (HF) :
  Pour une plage de fréquence supérieure à 30 MHz. Ces perturbations se propagent essentiellement dans l’air sous forme rayonnée, elles sont caractérisées par un front de montée très court (<10ns), elles peuvent être permanentes dans le cas du redressement ou de signaux d’horloge. L’énergie conduite est faible et se traduit par le risque de dysfonctionnement du matériel environnant.
• Leur support de propagation
  • Les perturbations conduites : celles qui se propagent par les câbles de liaison, et en particulier les câbles d’alimentation.
  • Les perturbations rayonnées: celles qui n’empruntent pas de voie matérielle, mais agissent par l’intermédiaire de champs magnétique, électrique et électromagnétique.
• Leur nature temporelle
  • Les sources permanentes où entretenues ;
  • Les sources transitoires.



III.3.2 Sources de perturbation électromagnétique permanentes et transitoires
Par définition une source permanente émet des perturbations aussi longtemps que l’appareil contenant cette source est en fonction. Par opposition une source transitoire n’émet des perturbations que sporadiquement, donc de manière imprévisible, à des intervalles pouvant varier entre quelques secondes et plusieurs jours, elles sont donc particulièrement difficiles à identifier et à caractériser.
Le tableau I.1 suivant regroupe quelques sources de perturbation électromagnétique permanentes et transitoires :

Sources permanentes
(fréquence fixe) Sources transitoires (large bande de fréquence)

• Emetteurs radio ;
• Radars ;
• Bruits des moteurs électriques ;
• Communications fixes et mobiles ;
• Ordinateurs, écrans, imprimantes ;
• Redresseurs ; – Etc. – La Foudre ;
• Impulsion électromagnétique ; nucléaire
  (NEMP: Nuclear Electromagnetic Pulse) ;
• Défauts dans les lignes d’énergie ;
• Interruption de courant (disjoncteurs) ;
• Décharge électrostatique ; – Etc.

Tableau T.1 – Principales sources de perturbation.

IV. Couplage électromagnétique

Le couplage entre la source de perturbation et le circuit victime peut s’effectuer de deux manières [3]:
• Couplage par conduction électrique :ce type de couplage est dû à la propagation d’une tension ou d’un courant le long des conducteurs du circuit.
• Couplage par rayonnement électromagnétique :le couplage est ici lié à la propagation du champ électromagnétique dans le milieu séparant la source et la victime.

• se manifeste par un champ magnétique et un champ électrique associés.
• agisse sur les fils extérieurs, où même à travers les ouvertures des blindages.
• se propage ensuite dans la victime par conduction.
  Le couplage par rayonnement diffère selon la distance r qui sépare la source de la victime, on parle :
  
• d’un couplage en champ proche lorsque : r<<  avoir :
  2
  , dans ce type de couplage il peut y – un couplage inductif ;
• un couplage capacitif.
  
• d’un couplage en champ lointain lorsque : r>> 
  2
  Le schéma I.4, ci-dessous récapitule les différents mécanismes de couplages.

Fig. I.4 –Mécanismes de couplages.

IV.1 Couplage par conduction directe :
Un couplage par conduction directe se produit lorsqu’un conducteur appartenant à un récepteur véhicule un courant électrique qui provient directement d’une source de bruit. Dés lors qu’un courant circule dans un conducteur relié à un récepteur, ce courant trouve toujours un trajet qui lui permet d’y pénétrer. Une fois à l’intérieur, il s’y repartit en obéissant aux lois classiques de l’analyse des circuits électrique ; de cette manière, ses effets peuvent être calculés.
IV.2 Couplage par champ [3]

IV.2.1 Couplage en champ proche :
Ainsi qu’on l’apprend en électromagnétisme, les caractéristiques du champ électromagnétique rayonné par une source de radiation varient en fonction de la distance qui sépare la source de radiation du lieu où le champ est observé. Près de la source, le champ électromagnétique rayonné dépend essentiellement des caractéristiques de la source ; les termes les plus grands des composantes électriques et magnétiques du champ EM varient en
1 1
fonction de 3 et r 2 . Cette région est appelée la zone de rayonnement en champ proche ou r

  zone d’induction. Dans cette région, les champs E et H  peuvent être considérés séparément. 

Suivant la composante du champ électromagnétique qui entraîne les effets les plus grands on parle de couplage par induction électrique ou le couplage par induction magnétique.
IV.2.1.1 Couplage par un champ électrique :
Il traduit l’existence de lignes de flux d’induction électrique qui partent de la source de perturbation pour aboutir sur le récepteur victime ; la cause des couplages par induction électrique (ou couplages capacitifs) est les capacités parasites. Un couplage capacitif existe entre un circuit électrique et un autre proche. Par exemple :

• deux conducteurs électriques ;
• le primaire et le secondaire d’un transformateur.
  Une différence de tension variable entre ces deux circuits va générer un courant électrique de l’un vers l’autre à travers la capacité parasite (mutuelle) ; la figure (I.5) schématise la signification physique d’une capacité parasite.
  du(t)
• en régime impulsionnel : i(t)  c.
  dt
• en régime sinusoïdal : Irms  Urms  2.л.f .c.U rms Avec Z=1/2л.f.c Z

Ce courant parasite est d’autant plus élève que la fréquence de la tension est élevée (Ce couplage à une importance considérable en haute fréquence), il est totalement négligeable en50 Hz.

Fig. I.5 – Signification physique d’une capacité parasite.

IV.2.1.2 Couplage par champ d’induction magnétique :
Il correspond à un récepteur qui est traversé par des lignes de flux d’induction magnétique générées par une source de perturbation ; un tel couplage se représente par une inductance mutuelle. Lorsqu’un courant électrique circule dans un conducteur, il engendre un champ magnétique variable H autour de lui, dont les lignes de flux à la différence des lignes de flux électrique sont des lignes fermées entourant le conducteur. La direction des lignes de flux est donnée par la règle d’Ampère (ou par la règle de la main droite). La densité de flux

magnétique où d’induction magnétique B est donnée par B  H . Le coefficient de proportionnalité µ étant la perméabilité magnétique du milieu ; le courant i et le flux d’induction magnétique φ qu’il engendre sont relié par l’expression φ=L.i, L désigne l’inductance propre.
La figure (I.6) schématise la signification physique de l’inductance parasite.
Fig. I.6 – Signification physique d’une inductance parasite.

Ce flux magnétique qui traverse un circuit fermé induit une tension dans cette boucle, le couplage dépend :

• de la surface S ;
• de l’orientation de la boucle (victime) ;
• de la fréquence du courant variable.

Fig. I.7 – Couplage champ H à boucle.

IV.2.2 Couplage en champ lointain :
Les couplages que nous avons présentés précédemment sont fondés sur des champs proches, leur effet étant mesuré à proximité immédiate de la source. Au-delà de la zone d’émission en champ proche s’étend la zone de rayonnement dite en champ lointain, dans cette zone, les caractéristiques du champ EM rayonné ne dépendent que des propriétés du milieu dans lequel le

champ se propage. Les composantes E et H du champ EM dans l’air sont en phase dans le
1
temps et leurs amplitudes varient en fonction de la distance en . On dit qu’on a alors atteint la r zone de rayonnement lorsque :

E/H =  377 .

Ce rapport est appelé l’impédance caractéristique du milieu de propagation.
Dans cette zone, et dans l’air, on dit que l’on a affaire à un couplage par champ électromagnétique ou par onde plane ; il faut employer les équations de Maxwell pour calculer l’amplitude des perturbations électromagnétiques, ce qui signifie que les composantes du champ EM ne peuvent y être séparées.

Remarque
• A faible distance : les champs magnétique et électrique agissent séparément.

• si la source de courant considérée est à basse impédance : prédominance du champ magnétique (voir Fig. I.8 et I.10) ;
• si la source de courant considérée est à haute impédance : prédominance du champ
  électrique (voir Fig. I.9 et I.10).

Fig. I.8 – Prédominance du Fig. I.9 – Prédominance du champ magnétique. champ électrique.

• A grande distance : les champs magnétique et électrique agissent ensemble. La limite dépend de la longueur d’onde, donc de la fréquence de la perturbation.
 v
On a la distance limite r = ou   2. f

 8 , Donc r = 3.108  [m]. 

Dans l’air, v = 3.10
2 . f
r : la distance séparant la source de perturbation, et la victime.
Il est clair que l’énergie émise par la source se dispersant dans un volume croisant sans cesse avec la distance r à cette source, les amplitudes des champs H et E décroissent lorsque cette distance raugmente.

Fig. I.10 – L’impédance d’onde d’un champ électromagnétique.

V. Modes de propagation

La perturbation issue de la source peut se coupler au dispositif victime de deux manières distinctes : le mode différentiel (MD) et le mode commun (MC).
V.1. Mode différentiel :
Les signaux utiles sont généralement transmis en mode différentiel, appelé aussi mode« série », mode « normal » ou mode « symétrique ».Si l’on considère deux dispositifs reliés par une ligne bifilaire, le mode différentiel correspond à une transmission des signaux de manière symétrique. En effet, le courant propage sur l’un des deux conducteurs et revient en opposition de phase sur le second :

Fig. I.11 – Mode différentiel

La tension de mode différentielle est mesurée entre les 2 fils, elle peut être mesurée avec une sonde différentielle.
En général, comme les conducteurs sont souvent proches l’un de l’autre, le niveau de couplage est assez faible en mode différentiel. En mode différentiel, le plan de masse ne joue aucun rôle.
V.2. Mode commun :
Le mode commun est très peu utilisé pour les signaux utiles, il correspond souvent à un mode parasite. Il est aussi appelé mode « parallèle », mode « longitudinal », ou mode « asymétrique ».
En considérant le même système que précédemment, le mode commun correspond à une propagation asymétrique. Effectivement, le courant se propage le long des deux conducteurs dans le même sens. Le retour s’effectue via la masse. Le schéma suivant décrit le parcours du courant en mode commun :

Fig. I.12 – Mode commun

Les tensions de mode commun se développent entre les fils de liaisons et la référence de potentiel : masses des appareils, fil de protection équipotentielle.

Remarque :

Dans notre travail nous nous intéressons à l’effet indirect de la foudre qui se traduit par une onde électromagnétique capable d’entraîner un couplage par rayonnement.

VI. Equations de Maxwell

VI.1 Forme locale ou différentielle :
En tout point de l’espace qui n’est pas situé sur une surface de séparation entre deux milieux, c’est-à-dire, dans un milieu linéaire, homogène, et isotrope (LHI), les équations générales de Maxwell spécifient que :
  E(t, r)   B(t, r) (Maxwell – Faraday) (I.1)

  H  (t, r)  J  (t, r)  0  (Maxwell - Ampère)  (I.2) 

t

.D(t, r)  (t, r) (Maxwell – Gauss)   (I.3) 

.B(t, r)  0 (La conservation du flux)
Les variables de base de ces équations sont :
(I.4)
B induction magnétique (Tesla, T)
H intensité du champ magnétique (Ampère/mètre, Am-¹)
D densité du flux électrique (Coulomb/mètre², Cm-²)
E densité du champ électrique (Volt/mètre, Vm-¹)

J densité du courant électrique (Ampère/mètre², Am-²)
ρ densité de charge électrique (Coulomb/mètre³, Cm-³)
Et : µ perméabilité magnétique ε permittivité électrique
σ conductivité électrique

Sous cette forme, dite locale ou différentielle, les équations de Maxwell expriment des relations entre des variations spatiales de certains champs et des variations temporelles d’autres champs. Dans le vide :
B(t, r)  0 H(t, r) (I.5)
D(t, r)  0 E(t, r) (I.6)

Alors les équations de Maxwell deviennent :
 E(t, r)  B(t, r) (I.7)
t

 H(t, r)  0 E(t, r)    (I.8) 

t

 E(t, r)  0
 B(t, r)  0 (I.9)
(I.10)
L’opérateur différentiel nabla «  » sert à exprimer l’opération rotationnel rot et l’opération divergence div .
VI.2 Forme globale ou intégrale :
Les équations de Maxwell peuvent aussi être exprimées sous leur « forme globale », en termes de relations intégrales qui portent sur les champs dans des volumes, sur des surfaces et le long de contours (voir Fig. I.13). On obtient ces relations en intégrant les équations aux dérivées partielles (I.1) à (I.4), sur une surface ou sur un volume et en faisant usage de relations intégrales.

Fig. I.13 – Définition des surfaces, volumes et contours d’intégration des équations de Maxwell.

Les deux équations rotationnelles (I.1) et (I.2) deviennent, après intégration sur la surface de la figure (I.13) et en utilisant le théorème de Stokes :
 Et, r dl   n  B t, r  dA (I.11)

c   s   t 

 H t, r dl  n  Dt, r      (I.12)

   J t, r  dA
c s  t 
Ces deux expressions lient les circulations des champs électrique et magnétique sur le contour fermé C (intégrales à gauche des expressions) aux flux d’induction et de courant qui traversent la surface S (intégrale de droite). Ces deux relations sont aussi connues, respectivement, sous les noms de loi d’induction de Faraday et de loi d’ampère.

Les deux équations en divergence (I.3) et (I.4) deviennent, après intégration sur le volume de la figure (I.13) et en utilisant le théorème de La divergence :

 n Dt, r  dA    t, r dV    (I.13) 
s   v 


 n Bt, r  dA  0    (I.14) 

s
Ces deux relations considèrent les flux qui traversent la surface fermée S. Le flux du champ de déplacement D(t, r) est égal à la charge totale contenue dans le volume (équation de gauss), tandis que le flux du champ d’induction est nul (conservation du flux).
Sous leur forme intégrale, les équations de Maxwell sont plus générales que sous leur forme différentielle, elles restent notamment valables quand on traverse une surface de séparation entre différents milieux. Elles permettent donc de déterminer les conditions aux limites et servent à résoudre des problèmes qui présentent des symétries particulières.
VI.3 Loi de conservation de la charge :
Prenant la divergence de l’équation (I.2), on trouve :

D(t, r)    
    H (t, r)  0         J (t, r)         D(t, r)    J (t, r) 

   t     t 
   

On fait ensuite usage de la relation (I.3), on obtient :
(t, r)
   J (t, r)  0 (I.15)
(I.16)
 
t
Cette dernière relation exprime le fait que les charges électriques sont conservées et on l’appelle loi de conservation de la charge.
VI.4 Conditions aux limites

Fig. I.14 – Surface et volume d’intégration entre deux milieux.

Lors du passage d’un milieu matériel à un autre, certaines composantes des champs sont discontinues. La forme locale des équations de Maxwell (I.1) à (I.4) possède alors des singularités, et n’est donc pas utilisable au voisinage de la surface de séparation. En revanche, sous leur forme globale (I.11) à (I.14) les équations de Maxwell restent utilisables et on peut en tirer les conditions aux limites pour les champs [4].

n [E1 (t, r)  E 2 (t, r)]  0     (I.17) 

n [H 1 (t, r)  H 2 (t, r)]  J s (I.18)
n [D1 (t, r)  D 2 (t, r)]   s (I.19)
n [B1 (t, r)  B 2 (t, r)]  0 (I.20)
Dans ces quatre relations :

n : est la normale à la surface de séparation, allant du milieu 2 vers le milieu 1 ;

J s : est la densité de courant de surface ;  s : est la densité de charge de surface.
Ces deux grandeurs ne sont définies que sur la surface de séparation entre deux milieux différents. Il en va de même pour les quatre équations (I.17) à (I.20). Il faut encore noter que les deux premières équations portent sur les composantes tangentielles des champs E et H , les deux suivantes sur les composantes normales de D et B .

Conclusion

A travers ce premier chapitre, intitulé ‘’Généralités’’ ; un bref exposé de quelques éléments théoriques nous a permis de faire habituer le lecteur avec les notions les plus fondamentales de notre projet de fin d’études.
Dans notre travail, on s’intéresse plus particulièrement au problème de rayonnement électromagnétique d’un phénomène naturel ‘’La Foudre’’.
Nous avons donc essayé de condenser l’essentiel des généralités relatives à notre sujet dans ce chapitre.

ANALYTIQUE DE L’ONDE DE CHOC DU

Introduction

Le deuxième chapitre de notre projet de recherche, nous l’intitulons ‘’Modélisation analytique de l’onde de choc de foudre’’.
Il est entièrement consacré à la modélisation du courant à la base du canal et de l’arc en retour par certains modèles, en d’autre terme à la description du courant en fonction du temps et de la hauteur. Pour ce faire, nous avons jugé important de décrire le canal de foudre comme une antenne alimentée par un générateur de courant.
Le présent chapitre comporte quatre parties qui présentent :
• Une description de la phénoménologie de la décharge de foudre, en particulier la phase dite de l’arc en retour associée à une décharge nuage-sol négative ;
• Les principales observations expérimentales relatives aux éclairs naturels, et à ceux déclenchés artificiellement ;
• Les différentes caractéristiques concernant le courant à la base du canal et la vitesse de l’arc en retour.
• L’ensemble des modèles mathématiques existants dans la littérature, permettant de décrire l’arc en retour à partir de quelques caractéristiques de la base du canal de foudre déterminées par mesure.
I. Description du phénomène orageux :

La foudre est une décharge électrique d’une longueur de plusieurs kilomètres associée à une impulsion de courant transitoire de très forte amplitude [5]. La source la plus commune de la foudre est la séparation des charges dans les nuages d’orages, les cumulo-nimbus. Les orages les plus fréquents font suite à des fronts froids. A l’arrivé d’un de ceux-ci, la masse d’air froid s’infiltre sous l’air chaud et le soulève ; ceci engendre des turbulences dans l’air chaud rejeté en altitude : ainsi se forment les nuages d’orage ou les cumulo-nimbus.
La distribution des charges dans un nuage d’orage est la suivante : la partie supérieure, constituée de glace, est chargé positivement (région P), tandis que la partie inférieure constituée de gouttelettes d’eau est chargée négativement (région N). Souvent, un îlot de charges positives (région P) est enserré dans cette masse de charges négatives.
A l’approche d’un nuage orageux, le champ électrique atmosphérique au sol qui est de l’ordre d’une centaine de volts par mètre par beau temps commence par s’inverser, puis croît dans de fortes proportions. Lorsqu’il atteint 10 à 20 kV/m, une décharge au sol est imminente (voir Fig. II.1).

Fig. II.1 – Schéma du champ électrique au sol.

II. Types de décharges de foudre

Les décharges de foudre se répartissent principalement en trois types principaux [5][6]:
• Les décharges entre nuage et terre (Fig. II.2) ;
• Les décharges entre nuage (Fig.II.3) ; • Les décharges à l’intérieur du nuage (Fig. II.4).

Fig. II.2 - Décharge nuage-terre    Fig. II.3 - Décharge à l’intérieur des nuages. 

Fig. II.4 – Décharge entre nuage. .

III. Traceur par bonds

III.1 Définition
Sous l’effet du champ électrique élevé, régnant sur l’électrode relativement la plus incurvée, croit un canal ionisé appelé traceur par bonds. Ce canal est positif (si l’électrode est positive) où négative dans le cas contraire. Il croit dans la direction de l’électrode la plus plane par bonds successifs se traduisant par un filament lumineux suivi par des périodes de repos où le filament s’éteint.
III.2 Types de Traceurs par bonds
On rencontre trois grandes catégories de traceur par bonds :
• Le traceur principal qui constitue le canal ionisé offert au passage de l’éclaire ;
• Les traceurs auxiliaires qui constituent des chemins latéraux abandonnés par la suite ; • Le traceur d’interception qui apparaît vers la fin du développement du traceur principal.

IV. Types de coups de foudre nuage-sol

Bien que les décharges inter- et intra-nuages constituent plus de la moitie des décharges de foudre, ce sont surtout les décharges nuage-sol qui ont été l’objet d’études les plus poussées, ceci du essentiellement aux raisons d’ordre pratique (cause de blessure et mort, incendies de forets, et perturbation des systèmes électriques de télécommunication et de transport), et aussi du fait qu’il est plus facile de mesurer les caractéristiques optiques et électriques des décharges nuage sol.
Les décharges de foudre nuage-sol ont été subdivisées par Berger et all en quatre catégories, les critères sont d’une part la direction (ascendante ou descendante) du traceur principal, et d’autre part le signe (positif ou négatif) des charges portées par le traceur principal. La figure II.5 illustre les quatre catégories des charges nuage-sol.

Fig. II.5 – Catégorisation des décharges nuage-sol.

Note :
Dans les régions tempérées, plus de 90 % des coups de foudre nuage-sol sont déclenchés par un traceur descendant chargé négativement, ils sont appelés décharges négatives, et peuvent par conséquent être considérées comme la forme la plus commune des décharges nuage -sol.

V. Le processus de la décharge négative nuage-sol [7]

Le processus de la décharge négative nuage-sol peut se scinder en 4 étapes :
• Le traceur par bond
• Le processus d’attachement
• L’arc de retour
• Le traceur continu et arc de retour subséquents

Fig. II.6 – Le processus de la décharge négative nuage-sol

V.1 Le traceur par bond
Le traceur n’est qu’un pont suffisamment conducteur pour préparer la voie au coup de foudre proprement dit. Ca progression s’effectue par une succession de bonds lumineux ayant une longueur de quelques dizaines de mètres et d’une durée avoisinant la microseconde. Deux bonds successifs sont espacés d’une pause de l’ordre de 500 microsecondes. Chaque bond du traceur correspond à une impulsion de courant dépassant le kilo Ampère. Ces fluctuations de courant sont associées à des variations de champ électrique d’environ 0.1 microseconde de durée. Au fur et à mesure de sa progression on assiste à des ramifications qui se dirigent vers le sol.
V.2 Le processus d’attachement
Du fait de son potentiel élevé, le traceur a l’approche du sol, provoque une intensification du champ de l’ordre de 500 kV/m et initie une ou plusieurs décharges ascendantes (upward- connecting leader) issue des aspérités du sol ou des structures. L’effet de pointe crée par les aspérités du relief (végétation, constructions, relief) favorise l’apparition des coups de foudre à cet endroit. Ce phénomène s’appelle l’effet de couronne.
V.3 L’arc de retour
Lorsque le point de contact entre une des décharges ascendantes et le traceur est effectué, une onde de potentiel se propage du sol vers le nuage avec une vitesse d’environ 1.1e8m/s et neutralise le canal chargé par le traceur. Le premier arc de retour produit alors un courant au niveau du sol de valeur crête typique 15 KA et de durée de quelques dizaines de microsecondes.
L’élévation rapide de la température du canal atteignant jusqu’à 30000°K provoque une onde de choc appelée tonnerre. Le premier arc de retour constitue de part son énergie la plus grande manifestation lumineuse communément appelé l’éclair.
V.4 Le traceur continu et arc de retour subséquents

Fig. II.7 – Évolution du courant à la base du canal de foudre

Néanmoins plusieurs décharges peuvent précéder quelque temps plus tard (10 à 70 ms) le premier arc de retour. Les arcs en retour subséquents ainsi désignés proviennent d’une quantité éventuelle de charge résiduelle au sommet du canal qui développe dans ce même canal un traceur continu beaucoup plus rapide que le premier appelé trait pilote. L’amplitude des coups subséquents associés aux coups de foudre négatifs est inférieure à celle du premier arc de retour tandis que leurs temps de montée sont beaucoup plus rapides, comme le montrent les valeurs de raideur max. plus élevées. Entre deux décharges consécutives un
courant d’une centaine d’ampère appelé  » courant persistant  » s’écoulant à travers le canal est à l’origine des effets thermiques les plus importants.

VI. Effets de la foudre

Les effets dus à la foudre sont similaires à ceux engendrés par tout courant électrique circulant dans un corps conducteur.
A noter que si le courant d’un coup de foudre arrive par la haute tension, il peut atteindre tous les circuits électriques (perturbations conduites et rayonnées). Ces effets, qui concernent donc tous les niveaux de tension, sont :
• effets visuels (éclairs) : dus au mécanisme de l’avalanche de Townsend ;
• Effets thermiques (effet Joule) : dégagements de chaleur par effet Joule dans le canal ionisé ;
• Effets électrodynamiques : ce sont les forces mécaniques dont sont l’objet les conducteurs placés dans le champ magnétique créé par cette circulation de courant intense. Ils peuvent avoir pour résultat des déformations ;
• Effets électrochimiques : relativement mineurs, ces effets se traduisent par une décomposition électrolytique par application de la loi de Faraday ;
• Effets acoustiques (tonnerre) : dus à la propagation d’une onde de choc (élévation de pression) dont l’origine est le canal de décharge ; la perception de cet effet est limitée à une dizaine de kilomètres ;
• effets d’induction : dans un champ électromagnétique variable, tout conducteur est le siège de courants induits ;
• effets sur un être vivant (humain ou animal) : le passage d’un courant d’une certaine intensité, pendant une courte durée suffit à provoquer des risques d’électrocution par arrêt cardiaque ou arrêt respiratoire. A cela s’ajoutent les dangers de brûlures.
Dans ce qui va suivre nous décrivons l’effet auquel nous nous intéressons.

VI.1 Effets électromagnétiques
On entend par ‘’effets électromagnétiques’’; les effets que peut produire la foudre par le seul fait des courants électriques s’écoulant dans le canal de foudre.
Un coup de foudre indirect peut produire une variation extrêmement rapide du champ électromagnétique rayonné qui, par induction, va venir perturber le bon fonctionnement des dispositifs. Ces perturbations suffisent en effet à dégrader des matériels électroniques sensibles
(téléviseurs, ordinateurs, etc.) même si l’éclair est éloigné. Si l’éclair est plus proche,
le parasite peut aussi détruire des matériels plus résistants (lampes, moteurs, fours…). Un front très raide et un amortissement rapide caractérisent ces phénomènes. Le rayonnement électromagnétique est d’autant plus important que le front de montée du courant de foudre est raide (20 à 100 KA/ms), ses effets se feront sentir à plusieurs centaines de mètres, voire plusieurs kilomètres.
Tous les systèmes électroniques surtout quand ils sont reliés entre eux ou à des éléments éloignés par une filerie plus ou moins longue, captrice de surtension, sont visés par les phénomènes d’induction. Or, la complexité toujours croissante de ces installations les rend par ailleurs de plus en plus sensibles.
Les effets électromagnétiques seront par exemple :

• destruction de systèmes électroniques et de composants ;
• destruction des systèmes d’alimentation en énergie électrique ;
• destruction des systèmes de conduites des unités de fabrication (pertes de contrôles commandes) ;
• modification d’informations, en particulier numériques ; – perte de fichiers informatiques.
  Particulièrement les équipements les plus sensibles sont eux connectés à la fois au réseau d’énergie électrique, et au réseau de communication (modems, serveurs informatiques, automates).
  VI.1.1 Effets d’un coup de foudre direct sur un réseau électrique [8]
  Lorsqu’un coup de foudre frappe un conducteur d’une ligne, tout se passe comme si l’arc en retour se comportait comme un courant injecté dans le conducteur. Ce courant se répartit par moitié de part et d’autre du point d’impact, et chacune de ces moitiés va se propager le long du conducteur. Les lois de propagation des ondes mobiles enseignent qu’à toute onde de courant est nécessairement associé une onde de tension, et réciproquement. Dans le cas d’un foudroiement direct d’un conducteur d’une ligne aérienne, compte tenu des fortes intensités des courants de foudre, l’onde de tension associée se caractérise par des amplitudes considérables, de l’ordre de quelques MV.
  Aucune isolation économiquement acceptable ne peut supporter de pareilles surtensions : dans le cas des lignes, ce sont les chaînes d’isolateurs, auxquelles sont suspendus les conducteurs, qui constituent les points d’isolement les plus faibles, de sorte qu’un amorçage va immanquablement se produire au niveau de la première chaîne rencontrée par l’onde de tension. Cet amorçage est une violente étincelle, qui n’est autre chose qu’un canal ionisé conducteur, et par lequel va pouvoir passer le courant d’arc en retour, puis un intense courant alimenté par le réseau : ce courant que l’on désigne par « courant de suite », est en fait un courant de court-circuit, et le seul moyen dont on dispose pour l’éliminer est l’ouverture des disjoncteurs aux deux extrémités de la ligne.
  VI.1.2 Effets des coups de foudre indirects sur un réseau électrique
  Lorsqu’un coup de foudre tombe à proximité d’une ligne, le champ électromagnétique intense généré par l’arc en retour induit des surtensions, qui peuvent dans certains cas provoquer un amorçage. Les coups de foudre indirects représentent un danger plus important du fait que ce mécanisme de production de surtensions est bien plus fréquent que celui qui résulte des impacts directs. Le calcul des surtensions induites par une décharge de foudre indirecte nécessite :
  • La définition de la distribution spatio-temporelle du courant de foudre le long du canal.
  • Le calcul du champ électromagnétique résultant.
  • L’évaluation de l’interaction entre le champ électromagnétique et une ligne de transmission.

VII. Observations expérimentales

• Coups de foudre naturels : on peut [8],
• Mesurer le courant à la base du canal ; – Mesurer le champ électromagnétique.
• Coups de foudre déclenchés artificiellement : on peut,
• Faire une Mesures simultanées du courant à la base du canal, champs électrique et magnétique, vitesse de l’arc en retour, tensions induites sur une ligne expérimentale, etc.
  On note que les valeurs de courant de crête mesurées dans le cas de foudre déclenchée artificiellement, sont au moyen nettement plus basses que dans le cas de foudre naturelle. Cette constatation peut s’expliquée par le fait [8] :
  1- que l’on déclenche le phénomène prématurément avant que la charge des nuages soit suffisante.
  2- que par ce procédé ; on ne déclenche que les coups de foudre de type ascendant (l’inconvénient des méthodes expérimentales).
  VII.1 Enregistrement du phénomène onde de foudre
  Pour étudier les courants de foudre, les expérimentateurs ont eu recours à deux méthodes [9] :
  VII.1.1 La méthode passive
  Consiste à attendre patiemment la chute de coups de foudre sur des tours élevées (pylônes, antennes, bâtiments, etc.) ; (Fig. II.8).

Fig. II.8 – Captage passif de la foudre sur une tour élevée.

Le tableau suivant (Tableau. II.1) présente les valeurs de crête de courant de foudre mesurées au moyen d’un paratonnerre sur une tour élevée.

10% > 40 KA
2% > 60 KA
0.5% > 90 KA
Valeur maximale enregistrée 325KA
Tableau. II.1 – Courants de foudres mesurées.

VII.1.2 La méthode active
Il faut noter que des données manquent pour des champs très proches, c’est-à-dire pour des distances inférieur à 1 Km, qui correspondent à la plage de distance la plus importante pour le calcul des surtensions, des données dans cette plage ont été obtenues récemment au moyen de la technique de la foudre déclenchée. L’expérience, dépendant trop du hasard, durerait des temps bien trop longs.
D’après cette technique, la foudre est initie en lançant en direction d’un nuage orageux une petite fusée, du type paragrêle, qui déroule derrière elle un mince fil métallique s’échappant d’une bobine spéciale amarrée sur le sol. À partir d’une certaine hauteur, comprise entre 50 et 500 m, la fusée et son fil agissent comme un paratonnerre et provoquent le coup de foudre. Le courant de foudre s’écoule le long du fil métallique, tout en le volatilisant, puis se disperse dans la terre quand il atteint le point d’amarrage du fil (voir figure II.9).

Fig. II.9 – Captage actif de la foudre au moyen d’une fusé.

Dans les deux cas on mesure le courant de foudre sera mesuré sur une plate-forme équipée au moyen de shunts et de boucles inductives, tenues prêtes à l’enregistrement en période orageuse.
VII.2 Courant de l’arc en retour
Depuis les années 50, plusieurs campagnes expérimentales ont été réalisées afin de caractériser les décharges orageuses et plus particulièrement le courant de foudre. La description la plus complète du courant de l’arc en retour est donnée par l’équipe du Professeur Berger, qui durant les années 1950-1970 a exploité une station expérimentale au Mont San Salvatore près de Lugano. La mesure du courant a été effectuée au sommet de deux tours de 55 m de haut situées au sommet du Mont San Salvatore.
En figure II.8 sont représentées les formes d’onde typiques normalisées du courant à la base du canal pour le premier arc en retour (Figure II.10a) et les arcs subséquents (Figure II.10b) d’une décharge négative, données par Berger et al. [10]. La distribution statistique des principaux paramètres de courant de foudre qui sont les plus significatifs pour l’évaluation des surtensions sont présentés dans le tableau II.2.

Fig. II.10 – Courant de foudre typique normalisé respectivement pour le premier ars et les arcs en retour négatifs subséquents [10].

Paramètre Unité 95% 50% 5%
Courant de crête premier arc en retour
kA
14 4.6
30
80
arc en retour subséquent kA 12 30
di/dt maximal
premier arc en retour
kA/µs
5.5
12
32
arc en retour subséquent kA/ µs 12 40 120
temps de montée
(2 kA-crête) premier arc en retour

µs

1.8

5.5

18
arc en retour subséquent µs 0.22 1.1 4.5

Tableau. II.1 – Statistiques des paramètres de courant de foudre pour le premier arc en retour et les arcs en retour subséquents [10].

Des campagnes de mesure identiques ont été effectuées en Italie, la aussi le courant de foudre a été mesure au sommet d’une tour de télévision de 40 m de hauteur située dans une région montagneuse. Les résultats de ces campagnes sont similaires à ceux obtenus par Berger et al [10].
Il est enfin important de noter que le courant d’un premier arc en retour mesuré sur une tour pourrait être différent de celui correspondant à des coups de foudre tombant sur le sol où sur des structures de petites dimensions. La raison essentielle de cette différence est attribuée à l’existence d’une décharge ascendante.
VII.3 vitesse de l’arc en retour
Les donnes expérimentales les plus récentes sont publiées par Idone et Orville et Idone et al. En 1982 et 1984 respectivement, des valeurs correspondant à 17 arcs en retour premiers et 46 arcs en retour subséquents sont présentées. La vitesse moyenne mesurée est de 0.96.108 m/s (de l’ordre du tiers de la vitesse de la lumière) pour les premiers arcs en retour et de 1.2. 108 m/s pour les arcs en retours subséquents.
D’autre part, il a été mis en évidence que la vitesse de l’arc en retour, tant pour les premiers arcs que pour les subséquents, décroît en fonction de la hauteur; cette décroissance est plus marquée pour les premiers arcs en retour [11].
VII.4 Modélisation du courant à la base du canal de foudre
Un certain nombre de fonction permettent de modéliser le courant à la base du canal. La bi exponentielle est souvent utilisée en raison de sa simplicité. Par ailleurs, elle se prête bien à l’analyse fréquentielle du champ électromagnétique puisque sa transformée de Fourier s’exprime analytiquement, ce qui permet de faire une analyse directe dans le domaine fréquentiel.
i(0,t)  I 0.(et  et ) (II.1)
Où I0 , et  sont les paramètres qui déterminent la forme bi exponentielle.
Plus récemment, Heidler [11] a proposé une nouvelle expression analytique pour simuler le courant de l’arc en retour :
i(0, t)  I 0 t / 1 n n exp t / 2   (II.2)

    t /1 

Où :
     1 / n 
Et
I 0 : est l’amplitude du courant à la base du canal ;

 1 : est le temps de montée ;
 2 : est la duré de l’impulsion ;
 : est le facteur de correction d’amplitude ; n : est un exposant compris entre 2 et 10.

Cette modélisation représente bien la forme d’un courant de foudre typique à la base du canal. Par ailleurs, elle permet d‘obtenir une dérivée nulle à t = 0, contrairement à la fonction bi exponentielle, habituellement utilisée. D’autre part, elle permet l’ajustement de l’amplitude du courant, de sa raideur du front, et de la quantité de la charge transférée presque indépendamment en faisant varier respectivement I0 , 1 et 2 [11]. Il faut noter que le courant
à la base du canal doit être pris comme le résultat de l’écoulement vers la terre des charges contenues dans le canal de leader et dans la gaine couronne autour du canal durant la phase d’arc en retour.
VII.5 Modélisation de la distribution du courant de foudre le long du canal
Afin de protéger d’une manière efficace les systèmes électriques et électroniques contre les perturbations engendrées par la foudre, il est nécessaire de connaître et de caractériser son champ électromagnétique impulsionnel. Les variations les plus brutales et de grandes amplitudes du champ électromagnétique émis par une décharge de foudre ont lieu lors de la phase de l’arc en retour. C’est pourquoi durant ces dernières années, plusieurs modèles de l’arc en retour, avec différents degrés de complexité, ont été développés afin de permettre d’évaluer son rayonnement électromagnétique qui sert comme donnée d’entrée pour le calcul du couplage onde structure.
L’une des difficultés majeures liée à la modélisation du canal de foudre réside dans le fait que le courant ne peut être mesuré qu’à la base du canal; or, pour déterminer les champs électrique et magnétique rayonnés, il est nécessaire de connaître la distribution spatiale et temporelle du courant le long du canal i(z’,t) .
Les différents modèles, les plus cités dans la littérature [11], sont les suivants :

• Le modèle de Bruce et Gold (BG) ;
• Le modèle Transmission Line (TL) ;
• Le modèle de Master, Uman, lin et Standler (MULS) ;
• Le modèle Travelling Current Source (TCS) ; – Le modèle Modified Transmission Line (MTL) ; – Le modèle de Diendorfer et Uman (DU).

Dans tous les modèles décrits ci-dessus, le courant de base du canal i(0,t) peut être spécifié parmi d’autres paramètres de modèle afin de permettre la détermination du courant en fonction de la hauteur et du temps le long du canal i(z’,t) .
Il faut noter que ces modèles ont été conçus pour décrire la variation du champ due a la phase d’arc en retour. Le champ en retour total étant la somme de la variation du champ d’arc en retour et du champ produit par la phase de leader précédente.
VII.5.1 Géométrie du problème
Pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par une décharge de foudre, la géométrie communément adoptée est celle présentée à la figure II.11.
Le canal de foudre est supposé verticale de hauteur H (Distance entre le sol et le nuage, elle est de l’ordre de 7 Km). Dans la réalité, le canal n’est pas rectiligne, et comporte une succession de petits segments dont la direction suivraient une distribution de type gaussien [11]. Certains travaux récents tendent de prendre en compte la tortuosité du canal de foudre, les études ne sont qu’à leurs débuts et les résultats doivent encore être validés. Vu le caractère aléatoire de cette tortuosité, on se limitera ici au cas simple de canal vertical (antenne) perpendiculaire à un plan de masse.

Fig. II.11 – Paramètres géométriques utilisés pour la modélisation de la distribution Spatio-temporelle du courant de foudre.

L’arc en retour se propage verticalement à partir du sol avec une vitesse v constante indépendante de la hauteur du canal elle est comprise entre 0.9.108 et 1.9.108 m/s [12][13],
on comprend qu’il s’agit d’une approximation simplificatrice. En effet, cette vitesse de propagation du courant de foudre décroît quand la hauteur dans le canal augmente par ailleurs, elle pourrait être liée à l’amplitude du courant de foudre : plus le courant de foudre devient faible, plus la vitesse de propagation diminue. La corrélation entre la vitesse de propagation et l’amplitude du courant de foudre s’explique par le fait que ces deux grandeurs dépendent de la densité de charges dans le canal de foudre [5].
Le canal est parcouru par un courant dont la distribution spatio-temporelle i(z’,t) détermine le champ électromagnétique en un point quelconque de l’espace.
VII.5.2 Présentation des modèles existants
Il est actuellement admis que les différents modèles de représentation de l’arc en retour peuvent être séparés en deux grandes familles selon [12] :
1- Le traitement du front d’onde de l’arc en retour, soit comme discontinuité, (BG, TCS) ou soit comme une forme d’onde de courant a front raide avec un temps de monte rapide égal à celui du courant à la base du canal (MTL, TL).
2- La distribution spatiale et temporelle de la charge neutralisée par l’arc en retour, en forme d’une décroissance exponentielle, ou de même allure que celui du courant à la base du canal.
VII.5.2.1 Modèle de Bruce et Gold (BG)
Il s’agit d’un des premiers modèles dans le genre est probablement le plus simple. Dans le modèle de Bruce et Gold, le courant i(z’,t) à des hauteurs inférieurs au front de l’arc en
retour est égale au courant a la base du canal, à des hauteurs supérieurs au front de l’arc en retour, comme dans tous les autres modèles, le courant est nul [11]. Mathématiquement :
i(z’,t)  i(0,t) z’ vt (II-4)
i(z’,t)  0 z’  vt (II-5)
La distribution du courant le long du canal de l’arc en retour dans ce modèle montre une discontinuité sur le front d’onde de l’arc en retour. Une telle discontinuité implique que la charge à chaque hauteur est déplacée du canal instantanément par le front d’onde d’arc en retour (voir figure II.12).

Fig. II.12 – Distribution spatiale et temporelle du courant d’arc en retour pour le modèle BG.

Avec : v : est la vitesse de l’onde de courant.
A noter que la portion sombre de la forme d’onde indique que le courant est réellement écoulé à travers une section donnée du canal.
VII.5.2.2 Modèle « Ligne de Transmission » (Transmission Line, TL)
Ce modèle assimile le canal de foudre à une ligne de transmission sans pertes où une impulsion de courant se propage à partir du sol à la vitesse de l’arc en retour v [11].
Ce modèle fut proposé par Uman et McLain en 1969 et est largement utilisé jusqu’à ce jour. La distribution du courant est définie par :
z’
i(z’, t)  i(0, t  ) z’ vt (II-6) v
i(z’, t)  0 z’  vt (II-7)
Dans le model TL, il est supposé que le courant de foudre mesure au niveau du sol s’écoule sans distorsion et sans atténuation sur toute la hauteur du canal de la décharge à une vitesse constant v.
D’après le modèle TL, le transfert de charge prend place uniquement à partir du bas du canal de foudre vers le haut ; aussi, aucune charge nette n’est déplacée à partir du canal, situation irréalisable par rapport à la connaissance actuelle de la physique de la foudre [5]. Cependant, ce modèle prédit d’une manière satisfaisante la valeur initiale de crête du champ électrique (voir figure II.13).

Fig. II.13 – Distribution spatiale et temporelle du courant d’arc en retour pour le modèle TL.

VII.5.2.3 Modèle « Source de Courant Mobile » (Travelling Current Source, TCS)
D’après le modèle TCS, proposé par Heidler [11], une source de courant est supposée se déplacée à une vitesse v à partir du sol vers le nuage. Le courant injecte à une hauteur z’ est supposé se propage vers le bas du canal à la vitesse de la lumière c. Dans ce modèle les charges du traceur sont instantanément neutralisées à l’arrivée du front de l’arc en retour.
De ce fait, le courant à une hauteur z’ est égale au courant à la terre à un instant précédent z’/c, exprimé comme suit :
z’
i(z’,t)  i(0,t  ) z’ vt (II-8) c
i(z’, t)  0 z’  vt (II-9)
Il faut noter que, bien que les modèles BG et TCS aient été conçus indépendamment à partir de différentes considérations physiques, pour le cas ou dans le modèle TCS, le courant de foudre a une vitesse infinie, alors ce modèle se réduit au modèle BG.
Tout comme pour le modèle BG, la distribution du courant le long du canal TCS montre une discontinuité sur le front d’onde de l’arc en retour, ce qui n’est pas physiquement réel (voir figure II.14).

Fig. II.14 – Distribution spatiale et temporelle du courant d’arc en retour pour le modèle TCS.

VII.5.2.4 Modèle « ligne de transmission modifié » (Modified Transmission Line MTL)
Dans le modèle MTL, l’intensité du courant de foudre est supposée décroître exponentiellement pendant sa propagation, ce qui s’exprime mathématiquement par les relations [11]:
i(z
‘ , t)  i(0, t  z’) exp( z’) z’ vt (II-

 v          10)         
i(z', t)  0    z'  vt     (II-11) 

Où v est la vitesse de retour et λ représente le taux de décroissance qui décrit la réduction de l’amplitude de l’intensité du courant le long du canal.

Cette atténuation ne traduit pas des pertes dans le canal, soit pour prendre en compte la décroissance déjà mentionnée avec la hauteur de l’amplitude initiale, mais elle a été proposée par Nucci et al. [11] pour prendre en compte l’effet des charges stockées dans l’environnement couronné du leader et déchargée par la suite durant la phase de l’arc en retour.
Le modèle MTL représente une modification du modèle TL qui permet à une charge nette d’être déplacée du canal de foudre via la divergence du courant d’arc en retour avec la hauteur, et en résulte une meilleure concordance avec les résultats expérimentaux (voir figure II.15).

Fig. II.15 – Distribution spatiale et temporelle du courant d’arc en retour pour le modèle MTL.

Note :
Plusieurs auteurs ont mis en évidence les difficultés liées au développement et à la validation d’un modèle théorique. Il est utile de rappeler qu’un modèle adéquat est celui qui utilise comme donnée du problème le courant de foudre à la base du canal, grandeur qui est mesurables, d’autre part, un modèle peut être considéré comme raisonnable s’il permet d’obtenir à la fois une bonne approximation de toutes les grandeurs mesurables, c’est à dire le courant à la base du canal, les champ électrique et magnétique à différentes distances d’observation, et la vitesse de l’arc en retour.
Dans l’ensemble des travaux consacrés à ces différents modèles, il ressort que le model MTL est celui qui est le plus utilisé. En effet Nucci et al [13] ont montré que le modèle MTL reproduit d’une manière satisfaisante les principales caractéristiques des grandeurs trouvées par la mesure.

Conclusion

Ce chapitre nous a permis de faire un rappel physique de la décharge de foudre, en examinant les paramètres des décharges de foudre d’intérêt pour l’ingénieur. Des données statistiques sur les paramètres du courant d’une décharge orageuse (valeur de crête, raideur et durée du front…) pour à la fois la première impulsion et celle en retour subséquente sont récapitulées ainsi que celles sur la valeur de la vitesse moyenne de l’impulsion en retour.
Par ailleurs, un passage obligé à été celui de définir d’abord l’onde de foudre comme un générateur de courant et nous avons exposé dans ce chapitre les modèles les plus présents dans la littérature.
Bien sur ces différents modèles mathématiques établis à partir de constations et de mesures ne peuvent reproduire fidèlement une onde de foudre, car le caractère naturel de cette dernière, ne peut être maîtriser exactement même avec une mesure répétitive. Néanmoins, pour des besoins de simulation et afin relayer la mesure, ces modèles peuvent constituer un apport très appréciable.

ELECTROMAGNETIQUE

Introduction

Le but de notre recherche est de quantifier le champ électromagnétique émis par un coup de foudre.
En effet, pour un effet indirect, et après couplage électromagnétique onde-ligne des courants et tensions induites prennent naissance sur les lignes de transport d’énergie. Il est alors nécessaire de connaître le niveau de ces derniers pour une bonne coordination des isolements, ainsi que pour la protection des systèmes de contrôle-commande du réseau.
Pour ces calculs nous utilisons la méthode dite des dipôles Hertziens. Elle permet de quantifier par calcul le rayonnement électromagnétique émis par la foudre, considérée comme source de rayonnement. Cette dernière est représentée pour une antenne verticale de longueur finie, sur laquelle se propage une onde de courant a une vitesse v constante avec la hauteur du canal.
Nous présentons d’abord les expressions du champ électromagnétique lorsque le sol est considéré comme un milieu parfaitement conducteur, puis nous introduisons quelques modifications permettant la prise en compte de la conductivité finie du sol.
I. Champ électromagnétique généré par une décharge orageuse

I.1 Observations expérimentales
Des mesures du champ électromagnétique issu des coups de foudre naturels ont été réalisées par différents auteurs [13].
Le champ électromagnétique présente pour toutes distances (entre 1Km et 200 Km) un premier pic dont l’intensité est approximativement inversement proportionnelle à la distance. A des distances relativement proches (de 1 à 15km), le champ magnétique présente une bosse
(« hump ») à environ 30μs, alors que le champ électrique à une croissance en rampe après son pic initial. Les champs électrique et magnétique lointains (distance supérieure à environ 50 Km) ont essentiellement la même forme d’onde, et présentent une inversion de polarité.
Les figures III.1 et III.2 représentent des formes d’ondes typiques des champs électrique vertical et magnétique azimutal (mesurer), pour le premier arc en retour et les arcs en retour subséquents négatifs en fonction de la distance du canal de foudre.
Une décharge orageuse verticale produit non seulement des composantes azimutale du champ magnétique, et verticale du champ électrique, mais aussi une composante horizontale du champ électrique dont la présence est en partie due à la conductivité finie du sol [14].

Fig. III.1 – Formes typiques des champs électrique vertical et magnétique azimutal en zone proche correspondant à un premier arc en retour (trait continu) et un arc subséquent (pointillés) en fonction de la distance [13].  

Fig. III.2 – Formes typiques des champs électrique vertical et magnétique azimutal en zone éloigné correspondant à un premier arc en retour (trait continu) et un arc subséquent (pointillés) en fonction de la distance [13].

II. Modélisation du champ électromagnétique

II.1 Formules du champ électromagnétique
Le calcul du champ électromagnétique s’effectue en deux étapes. Dans un premier temps, on suppose la terre parfaitement conductrice, après cette approximation la conductivité du sol est prise en compte en corrigeant les valeurs obtenues pour un sol parfait.
II.1.1 Rappel des équations de Maxwell dans le vide
Il est connu que le champ électromagnétique émis par une source quelconque obéit aux équations générales de Maxwell.
Dans notre cas, il s’agit d’une antenne filaire située dans l’air et parcourue par un courant transitoire. Le champ émis par cette dernière a fait l’objet de diverses études et plusieurs formalismes sont proposés dans la littérature [2].
Avant de décrire la méthode que nous utilisons, nous rappelons brièvement les équations de Maxwell dans le vide.

rot E(t, r)   B( t, r)   µ  H→  (t, r)    (III.1) 


 t  0   t   


    E(t, r) 
rot H (t, r)   0      (III.2) 
 t   
divE(t, r)  0  (III.3) 

divB(t, r)  0  (III.4) 

II.1.1.1 Le champ électromagnétique rayonné en présence d’un sol parfaitement conducteur
D’après E. D. Sunde [15], une antenne verticale de longueur l au-dessus d’un sol parfaitement conducteur, se comporte comme une antenne de longueur 2 l . Cette antenne s’étend entre – l et + l , sachant que la partie entre 0 et – l constitue l’antenne image (voir figure III.3).

Fig. III.3 – Représentation d’une antenne verticale au-dessus d’un sol parfaitement conducteur.

Dans notre travail, sachant que la littérature confirme une conformité acceptable entre la mesure et les calculs obtenus, nous utilisons le formalisme des dipôles Hertziens [14] pour traiter la relation courant-champ électromagnétique rayonné par une onde de foudre, le dipôle Hertzien est la source du rayonnement électromagnétique la plus simple. La méthode des dipôles consiste en une subdivision du support (structure filaire) en éléments appelés dipôles (voir figure III.4), dont la taille est choisie de façon à masquer la propagation. La longueur du dipôle doit satisfaire aux deux conditions suivantes :

     

a) dz ‘   (III.5) 20
Où :
dz ‘ : La longueur d’un dipôle ;
 : Pseudo longueur d’onde du phénomène transitoire.
Cette condition permet de masquer la propagation le long du dipôle, c’est-à-dire l’amplitude et la phase du courant le long du dipôle sont toutes deux indépendantes de z .
b) dz’  R (III.6)
10
R : est le rayon d’observation.
Cette condition permet de prendre en compte les petites variations de courant vues d’un point très proche de la structure filaire.

Fig. III.4 – Le canal de foudre et sont image.

Le courant de foudre se propage vers le nuage selon l’axe vertical z. Le champ électromagnétique en un point quelconque de l’espace s’obtient en intégrant le long du canal de foudre et de son image, le champ électromagnétique crée par un dipôle vertical de longueur dz’ situé à une hauteur z’ au-dessus du sol, où par superposition de l’ensemble des contributions dipolaires (réelles et imaginaires).  

  n       
E t  i1 (E réeli       E imagei      )  (III.7) 
     n        
 H t  (H réeli       H imagei      )  (III.8) 
 i1 

Où :
n : est le nombre des dipôles.
La géométrie en coordonnées cylindriques du problème rend les grandeurs indépendantes de l’angle azimutal φ. En un point quelconque de l’espace, le champ électromagnétique se caractérise donc par :

• le champ électrique vertical Ez ;
• le champ électrique radial Er ; • le champ magnétique azimutal Hφ.

point P, est la suivante :
 i(z ‘ , t  R(z ‘ ) / c)
d Az (t)  0 dz a z
4R(z ‘ )
Sachant que :
(III.9)
B  rot( A)

Notons aussi que :
i(z ‘ , t  R(z ‘ ) / c)  i(t  R(z ‘ ) / c)

On peut déduire l’expression du champ magnétique en coordonnées cylindrique :
dz i(z’, tR )
dH(r, z, t) r i(z’, tR ) r c
(III.11)
(III.12)
L’expression du potentiel vecteur magnétique pour un dipôle dans l’espace libre « l’air » au
4π R R2 c cR t

Les composantes du champ électrique sont obtenues à partir des deux équations :
→ A
E  – grad  –
t
→
div A  1  0 (Jauge de Lorentz) (III.13)
(III.14)
→
c2 t  

Nous aurons alors :      
dE (r, z, t)   dz  [3r (z-z') t i(z',  R     )d  3r (z-z') i(z', tR ) 
r   4 0 R2    R 3     0  i(z', tcR  )  cR2     c       (III.15) 
 r c(z2 -Rz')       t c ] 
  dE (r, z, t)   dz  [2(z-z')2 r2 t  i(z',  R     )d  2(z-z')2 r2 i(z',    tR   ) 
z   4 R2  R3     R cR2   c (III.16) 

0   r2   0 
  - c2 R  i(z', t t c ) ] 

Avec :

R  r 2  (z-z')2   (III.17) 

Et dans lesquelles

i(z’,t) est le courant le long du canal obtenu à partir de l’un des modèles de courant d’arc en retour cité ci-dessus ; c est la vitesse de la lumière ;
0 et  0 sont respectivement la permittivité et la perméabilité du vide.
En III.15 Et III.16, le premier terme est appelé champ électrostatique, le second induction électrique ou champ intermédiaire, et le troisième champ de rayonnement électrique. En III.12, le premier terme est appelé champ d’induction magnétique et le second champ de rayonnement magnétique.
II.1.1.1.1 Calcul du champ électromagnétique en coordonnées cartésiennes
Pour des raisons pratiques, notamment pour le calcul du couplage d’une onde avec une structure filaire, les champs électrique et magnétique seront exprimés dans un repère cartésien par leurs trois composantes ( H x , HY , HZ ) et ( Ex , EY , EZ ). A partir de la figure (III.4), on peut déduire les relations suivantes [16]:
0
dEx  cos dE  dE   sin  0 r
 y    dE z 
dE z   0 1 (III.18)
dH x   sin  
dH    cos  dH 
 y     (III.19)
dH z   0  

II.1.1.2 Le champ électromagnétique rayonné en présence d’un sol de conductivité finie
II.1.1.2.1 Cas ou le point d’observation est situé au-dessus de la surface du sol
La mesure a montré que les champs électriques vertical et magnétique horizontal, rayonnés par une onde de foudre, ne sont pas affectés par la conductivité du sol, ils sont généralement calculés en supposant le sol comme une surface plane parfaitement conductrice [16], par contre la composante horizontale du champ électrique est beaucoup plus affectée par la conductivité du sol.
Dans notre travail, seul le champ électrique intervient dans le modèle mathématique que nous utiliserons dans la suite de notre travail pour le traitement du couplage électromagnétique.
Afin de prendre en compte l’effet de la continuité finie du sol, plusieurs corrections sont proposées dans la littérature [17], nous donnons un bref aperçu dans ce qui va suivre.

II.1.1.2.1.1 Calcul du champ horizontal à l’aide de la fonction « Wavetilt »
La fonction Wavetilt permet de déterminer le champ électrique horizontal apparaissant lors d’un sol de conductivité finie, à partir du champ vertical et en connaissant les paramètres électriques du sol. Cette fonction donne le rapport des transformées de Fourier des composantes horizontale et verticale du champ électrique ; elle est définie par [17] :
W ( j)  Er ( j)  1 (III.20)
E zp ( j)

Où :
Ezp(j) est la transformée de Fourier du champ électrique vertical calculé en supposant un sol parfait ;
Er(j) est la transformée de Fourier du champ électrique horizontal pour un sol de conductivité finie ;
 est la fréquence angulaire ;
rg est la permittivité relative du sol ; g est la conductivité du sol.
Cette approche est valable pour des points d’observation lointains; par contre son application à courte distance ne décrit correctement l’évolution de la composante horizontale du champ électrique que pendant les premières microsecondes.

II.1.1.2.1.2 Calcul du champ horizontal à l’aide de l’approche de «Rubinstein » [17]
Récemment, Rubinstein a proposé une approche selon laquelle la composante horizontale du champ électrique à une hauteur z au-dessus du sol peut se décomposer en deux termes : le premier représente l’effet de la conductivité finie du sol et s’obtient par une fonction similaire à

Wavetilt mais utilisant le champ magnétique ; le second terme est le champ horizontal calculé pour un sol de conductivité infinie. Le champ horizontal total est donné par la relation suivante dans le domaine fréquentiel :
E (r, z, j)  E (r, z, j)  H (r,0, j) (1  j) (III.21)

r   rp  p   g 
 

Où
 est la profondeur de pénétration dans le sol,
Hp(r, 0, j) est la transformée de Fourier du champ magnétique azimutal au niveau du sol calculé en supposant un sol parfait ;
Erp(r, z, j) est la transformée de Fourier du champ électrique horizontal à l’altitude calculé en supposant un sol parfait.
II.1.1.2.2 Cas ou le point d’observation est situé au-dessous de la surface du sol
Considérons un dipôle élémentaire du canal de foudre localisé à une hauteur z’; au-dessus d’un sol de conductivité finie, tel que le point d’observation est situé à une distance horizontale
‘’r’’ du canal de foudre et à une profondeur ‘’d’’ au-dessous de la surface de la terre, (voir figure III.5).

Fig. III.5 – Géométrie pour le calcul du champ électromagnétique rayonnée par un canal de foudre vertical au-dessous de la surface de la terre.

Les expressions simplifiées proposées par Cooray [18] dans le domaine fréquentiel, des champs électriques vertical et horizontal rayonnés sont données par :

E ( j, r, d )  E ( j, r,0) 0 exp(kg d )        (III.22) 


z z
s  j0rs
Er ( j, r, d )  Er ( j, r,0) exp(kg d ) (III.23)
Où : kg est la constante de propagation dans le sol, donnée par :
kg  ( jµ0s   2 µ rs0 )1 / 2
0
Dans ces expressions, les composantes du champ électrique vertical et horizontal à la surface du sol Ez ( j, r,0) et Er ( j, r,0) peuvent être calculés en supposant le sol comme
parfait pour le champ électrique vertical, et l’approximation de Rubinstein pour le champ électrique horizontal.
Concernant le champ magnétique azimutal ; ce dernier est relié au champ magnétique azimutal à la surface de la terre (d=0). Il est donné par la relation suivante :
H  , ( j, r, d )  H  , ( j, r,0)ekg d (III.24)  

Conclusion

L’objectif de ce chapitre intitulé ‘’Modélisation de la Foudre Comme Source de
Rayonnement’’, est de représenter de la manière la plus proche possible de la mesure par un modèle mathématique, la foudre en tant que source de rayonnement.
Pour ce faire, nous avons présenté la méthode des dipôles Hertziens. Ce formalisme sera utilisé pour le calcul du champ électromagnétique transitoire émis par un coup de foudre, en connaissant la répartition des courants le long du canal. Ce calcul est effectué par l’utilisation des équations de Maxwell.

CHAPITRE IV : Présentation , Analyse et Discussions des résultats de simulation s

Introduction

Ce travail est consacré à la comparaison des résultats de modélisations à ceux donnés par la mesure.
On essaie ici de confronter les résultats numériques avec des meures. Cependant les erreurs expérimentales sont toujours possibles, et les mesures ne constituent pas la référence absolue. Une non-concordance ne met pas nécessairement en cause les calculs. Elle doit simplement inciter à adopter un point de vu critique.
Dans ce dernier chapitre, afin de valider notre travail nous proposons quelques applications pratiques déjà publiées :

• Calcul du courant à la base du canal pour différents cas ;
• Représentation spatio-temporelle du courant le long du canal pour certains modèles ;
• Calcul du champ électromagnétique rayonné par l’onde de foudre pour le cas d’un sol parfait, puis pour un sol de conductivité finie.
  I. Courant à la base du canal

L’une des difficultés majeures liée à la modélisation du canal de foudre réside dans le fait que le courant ne peut être mesure qu’à la base du canal ; or, pour déterminer le champ électromagnétique rayonné, il est nécessaire de connaitre la distribution du courant le long du canal de foudre.
Pour modélise le courant à la base du canal en utilise la fonction de Heidler puis la fonction biexponentielle.
a) à l’aide de l’expression de heidler
En général, la somme de deux fonctions de Heidler (équation II.2, chapitre II, paragraphe
VII.4) permet d’obtenir une bonne approximation analytique du courant à la base du canal de foudre.

Pour la première application nous considérons trois cas dont les paramètres de la fonction de Heidler sont regroupés dans le tableau IV.1.

 I 01 (kA)   11 (µs)     21 (µs)   n1  I 02 

(KA)  12 (µs)  22 (µs) n2
1er cas 10.7 0.25 2.5 2 6.5 2.1 230 2
2éme cas 10.5 2.0 4.8 2 9 20.0 26.0 2
3éme cas 9.3 1.6 0.75 2 4.9 4.2 41.0 3

Tableau IV.1 – paramètres du courant de foudre à la base du canal (fonction de Heidler).

Résultat de calcul      Résultat publiés en [12] 

Fig. a. 1er cas

Résultat de calcul      Résultat publiés en [12] 

Fig. b. 2éme cas

Résultat de calcul      Résultat publiés en [12] 

Fig. c. 3éme cas

Fig. IV. 1 – Courant à la base du canal

Les résultats que nous obtenons pour le courant à la base du canal, nous montre que cette modélisation se prête bien aux comparaisons calcul-mesure.
Comme la montre la courbe de la figure (IV.1.b), la somme de deux fonctions de Heidler permet aussi de reproduire les deux bosses caractéristiques observés lors des mesures de courants.

b) à l’aide de l’expression biexponentielle
Pour le cas de l’expression biexponentielle on utilise l’équation II.1, (chapitre II paragraphe VII.4).Les paramètres de la fonction sont les suivants :

I 01 (kA)  11 (µs)  21 (µs) V (m/s)
23.5 33.3 0.1 1.1.108

Tableau IV.2 – paramètres du courant de foudre à la base du canal (biexponentielle).

Fig. IV. 2 – courant à la base du canal (résultat de calcul)

La courbe de la figure (IV.2) représente l’allure du courant à la base du canal modélisé par la fonction biexponentielle. Elle rappelle aussi que la méthode fréquentielle exige que le courant à la base du canal soit nul à la fin de l’intervalle considéré. Cette condition est nécessaire pour assurer le non recouvrement de spectre.

II Représentation de la distribution spatiale et temporelle du courant de l’arc en retour le long du canal pour les différents modèles
Afin de représente et de comparer les quatre modèles MTL, TL, BG et TCS, une forme d’onde de courant commune à la base du canal est spécifiée, dont sa forme est donnée par la figure (IV.1.a), avec : v = 1.3e8 m/s et λ = 2 km.
Les figures IV.3-4-5-6 présentent respectivement la distribution spatiale et temporelle du courant pour les quatre modèles cités précédemment. Pour notre travail de validation, nous prenons deux modèles de chaque famille (chapitre II : paragraphe VII.5). Nous optons donc les modèles MTL, TL pour la première famille et les modelés BG et TCS pour la deuxième famille.

Modèle MTL

Fig. IV. 3 – distribution spatiale et temporelle du courant de l’arc en retour le long du canal pour le modèle MTL (résultat de calcul).

Modèle TL

Fig. IV. 4 – distribution spatiale et temporelle du courant de l’arc en retour le long du canal pour le modèle TL (résultat de calcul).

Modèle BG

Fig. IV. 5 – distribution spatiale et temporelle du courant de l’arc en retour le long du canal pour le modèle BG (résultat de calcul).
Modèle TCS

Fig. IV. 6 – distribution spatiale et temporelle du courant de l’arc en retour le long du canal pour le modèle TCS (résultat de calcul).

Nous pouvons observer la discontinuité au front de l’arc en retour pour les modèles BG et TCS. Les autres modèles étant caractérisés par une croissance rapide du front du courant avec un temps de monté de durée finie et égale à celui du courant à la base du canal.
Aussi nous remarquons que pour tous les modèles excepté TL et MTL, il y a une décroissance de l’intensité du courant avec la hauteur.
Nos résultats, figure IV.3 et IV.6, de calculs, sont en parfait accord avec ceux publiés par F.Rachidi [13] (figures II.12. et II.15.) en allure et en amplitude.

III. Calcul des champs électrique et magnétique émis par le canal de foudre

Nous proposons dans ce paragraphe les résultats de calcul que nous obtenons pour :

• un sol parfaitement conducteur ;
• un sol de conductivité finie.

III.1 Point d’observation au-dessus du sol
III.1.1 Cas d’un sol parfait
Les figure IV.7 à IV.9 représente quelques résultats donnant la variation des champs électrique et magnétique calculés à différentes distances (r =50m, r =100km et r =1km) du canal de foudre. Pour la répartition du courant le long du canal de foudre, nous utilisons pour l’arc en retour le modèle MTL avec une valeur typique de vitesse de l’arc en retour v
=1.9×108 m/s et un taux de décroissance de l’intensité du courant   2 km. Le courant à la base du canal utilisé est celui représenté en figure IV.1.a.

     r=50m   v=1.9E8 m/s 
 120 

      a) Résultat de calcul   




 0   20  40Temps      (µs60)     80  100 

b) Résultat publié par Nucci et al

Fig. IV.7 – Champ électrique vertical à 50m du point d’impact.

a) Résultat de calcul

b) Résultat publié par Nucci et al

Fig. IV.8 – Champ magnétique azimutal à 50m du point d’impact.

a) Résultat de calcul   b) Résultat publié par Nucci et al 

Fig. IV.9 – Champ électrique vertical et magnétique azimutal à 100km du point d’impact (origine des temps t=r/c).

 r= 1km  v = 1.9E8 m/s       r = 1km     v = 1.9E8 m/s 
2500    2 

a) Résultat de calcul   b) Résultat publié par Nucci et al 

Fig. IV.10 – Champ électrique vertical et magnétique azimutal à 1km du point d’impact (origine des temps t=r/c).

Dans le cas où r=50m (zone proche), le champ magnétique est dominé par le terme d’induction (équation III.12, terme en 1/ r2 ), et par conséquent, la forme d’onde est similaire au courant à la base du canal. Par contre le champ électrique est dominé par le terme électrostatique (équation III.16, en terme 1/ r3 ).
En zone éloignée (r=100km), le terme en 1/ r lié à la dérivée du courant dans l’expression du champ électrostatique domine en matière d’émission électrostatique : ce terme est le terme de rayonnement. Il est admis qu’en zone très éloignée, le rayonnement EM émis par le canal de foudre est celui d’une onde plane caractérisée par la relation E=c.B dans l’air. Cette relation est bien confirmée par les résultats de calcul que nous obtenons (figure IV.9).
Dans le cas où r=1km, on remarque bien la présence de toutes les contributions de manière similaire, pour le champ électrique ainsi que pour le champ magnétique figure IV.10.
Enfin, nos résultats, figure IV.7.a à IV.9.a, de calculs, sont en parfait accord avec ceux publiés par Nucii et al. [11] (Figures IV.7.b à IV.9.b) en allure et en amplitude.
III.1.2 Cas d’un sol de conductivité finie
Dans le paragraphe précédent, nous avons considéré le sol comme un milieu homogène parfaitement conducteur. En réalité les sols sont inhomogènes (stratifiés horizontalement et verticalement) et la prise en charge de la conductivité du sol ne peut se faire directement à partir du modèle des dipôles Hertziens tel que nous avons exposé dans ce chapitre. L’expression utilisée est celle proposée par Rubinstein (équation III.21).

Afin de comparer nos résultats à ceux publiées, nos calculs sont réalisés à partir du modèle TL pour l’arc en retour. Le courant à la base du canal est décrit par une bi- exponentielle i(0,t)  I 0.( et  et ) avec pour valeurs des paramètres I0=10kA,  =3.104s-1,  =107s-1. La vitesse de l’arc en retour est v =1.1×108m/s.
Les calculs sont effectués en des points situés à 6m au-dessus du sol de conductivité 10-2 S/m, de permittivité relative est égale à 10, et à des distances de 100, 500 et 1500m du canal de foudre.

a) Résultat de calcul b) Résultat publié en [17]
Fig. IV.11 – Champ électrique horizontal à r=100m et z=6m.

a) Résultat de calcul   b) Résultat publié en [17] 

Fig.I V.12 – Champ électrique horizontal à r=500m et z=6m.

a) Résultat de calcul   b) Résultat publié en [17] 

Fig. IV.13 – Champ électrique horizontal à r=1500m et z=6m.

Sur ces figures (figures IV.11.b à IV.13.b), Rubinstein [17] compare les résultats obtenus par A. Zeddam et al. (courbes en triangles) en utilisant les expressions fréquentielles générales des champs électrique et magnétique.
Nos résultats de calcul (figures V.11.a à V.13.a), confirment bien la conformité de l’expression de Rubinstein avec le calcul plus rigoureux proposé par A. Zeddam [6].
Et nos remarques bien que l’amplitude du champ horizontal est diminuée avec l’augmentation de la distance r (distance entre le point source et le point champ).
III.2 Point d’observation au-dessous du sol
La configuration de base pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par un canal de foudre vertical en un point d’observation situé à une distance horizontale r du canal de foudre et à une profondeur d au-dessous de la surface de la terre et celle présentée en figure
III. 5.
Pour l’arc en retour, et afin de confronter nos résultats à ceux publiés, nous utilisons le modèle TL avec les caractéristiques suivant :
• La vitesse de l’arc en retour v =1.1×108m/s.
• Le courant à la base du canal est : i(0,t)  I0 .(et  et ) ; Où : I0=10kA,  =3.104s-1,  =107s-1.
• La permittivité relative du sol εrg =10.
Les résultats en figures IV. 14 à IV. 17 montrent les variations de la composante horizontale du champ électrique rayonné dans le sol par une décharge orageuse dont le point d’impact se situe à une distance de 100m. Deux profondeurs ont été envisagées avec deux valeurs de conductivité du sol (0.01S/m et 0.001S/m).

a) Résultat de calcul   b) Résultat publié en [19] 

Fig. IV. 14 – Champ électrique horizontal à la surface du sol et à 100m du point d’impact avec d=1m et  g =0.01S/m.

a) Résultat de calcul   b) Résultat publié en [19] 

Fig. IV. 15 – Champ électrique horizontal à la surface du sol et à 100m du point d’impact avec d=1m et  g =0.001S/m.

a) Résultat de calcul   b) Résultat publié en [19] 

Fig. IV. 16 – Champ électrique horizontal à la surface du sol et à 100m du point d’impact avec d=10m et  g =0.01S/m.

a) Résultat de calcul   b) Résultat publié en [19] 

Fig. IV. 17 – Champ électrique horizontal à la surface du sol et à 100m du point d’impact avec d=10m et  g =0.001S/m

Les figures IV.14 à IV.17 montres qu’une augmentation de la profondeur provoque une diminution de l’amplitude du champ électrique horizontal. L’effet de la conductivité du sol se manifeste par une diminution de l’amplitude négative du champ horizontal avec l’augmentation de cette dernière (conductivité du sol).
Nous remarque un bon accord entre notre résultat de calcul (figures IV.14.a à IV.17.a) et celle publié par E. Petrache [19] (figures IV.14.b à IV.17.b).
III.2 L’influence du taux de décroissance et de la vitesse de l’arc en retour sur le champ électromagnétique
Pour étudier l’influence du taux de décroissance et de la vitesse de l’arc en retour sur le champ électromagnétique, on choisit le modèle MTL pour représenter la distribution du courant le long du canal de foudre et le courant à la base du canal en figure IV.1.c (3ème cas).
a) L’influence du taux de décroissance
Trois valeurs représentatives du taux de décroissance ont été choisies pour illustrer l’influence de ce paramètre sur le champ électromagnétique. Ces trois valeurs sont respectivement : 2km, 3km et 4km. Les résultats sont représentés en figures (IV.18 et IV.19).

Fig. IV. 18 – Champ électrique vertical pour r = 70 m et z = 1 avec différentes valeurs de λ, v = 1.3 .108 m/s

Fig. IV. 19 – Champ magnétique pour r = 70 m et z = 1 avec différent valeur de λ v = 1.3 .108 m/s
b) L’influence de la vitesse de l’arc en retour
Afin de mettre en évidence l’influence de la vitesse de l’arc en retour sur le champ électromagnétique, nous faisons les calculs pour les quatre valeurs représentatives suivantes : 0.5×108 m/s, 0.7×108 m/s, 1.3×108 m/s, 1.7×108 m/s, avec une valeur fixe du paramètre λ=2km.

Fig. IV. 20 – Champ électrique vertical pour r = 70 m et z = 1avec différentes valeurs de v
λ = 2 km

Fig. IV. 21 – Champ magnétique pour r = 70 m et z = 1avec différentes valeurs de v λ = 2km

Le champ magnétique est peut affecté par le taux de décroissance λ (voir figures IV.19), et par la vitesse de propagation v (voir figures IV.21).
Par contre le champ électrique dépend fortement à la fois du paramètre λ et de la vitesse v. On constate que plus le taux de décroissance et la vitesse de l’arc en retour augmentent, l’amplitude du champ électrique diminue (voir figures IV.18 et IV.20).
Nous remarque un bon accord entre notre résultat de calcul (figures IV.18.a et IV.19.a) et celle publié par David Orzan [12] (figures IV.18.b et IV.19.b).

Conclusion

Dans ce quatrième chapitre nous avons présenté des applications pour illustrer notre travail.
Nous avons traité des applications citées dans la littérature qui se rapporte a des situations réelles dans les régions orageuses telles que :

• le calcul du courant de l’arc en retour pour les différents modèles cités dans la littérature.
• Le calcul du champ électromagnétique rayonné par une onde de foudre à différentes distances du point d’impact.
  Les résultats de calcul que nous avons obtenu pour le calcul du champ électromagnétique sont ceux déjà réalisés par Nucci et al [11], E Petrache [19] et David Orzan [12].
  Nous avons aussi étudié l’influence de la résistivité du sol, un paramètre qui affecte les calculs du champ électromagnétique.

CONCLUSIONS

Conclusions

Ce projet de recherche a démontré la pertinence de la simulation des effets néfastes des champs électromagnétiques sur les réseaux d’énergie, et de système de contrôle-commande. Pour ce faire, l’ingénieur a donc besoin des méthodes et des outils de calculs pour déterminer les dégâts que subirait le réseau en présence d’une perturbation électromagnétique.

Ce travail a abordé la problématique d e la modélisation é l e c t r o m a g n é t i q u e d e l ’ o n d e d e c h o c d e foudre, en la décomposant en deux sous-problèmes :

• La modélisation de l’onde de foudre comme générateur de courant. • La modélisation de l’onde de foudre comme source de rayonnement.

L’une des difficultés majeures liées à la modélisation de l’onde de foudre réside dans le fait que le courant ne peut être mesuré qu’à la base du canal ; or, pour déterminer le champ électromagnétique rayonné il est nécessaire de connaître la distribution du courant le long du canal de foudre. Les modèles de l’arc en retour différents essentiellement l’un de l’autre par cette description des distributions spatio-temporelle du courant le long du canal.

L’évaluation des surtensions induites sur une ligne de transmission nécessite la connaissance du champ électromagnétique excitateur. Dans notre travail nous avons exposé les différentes formules du champ électromagnétique, dans un premier temps, on suppose la terre parfaitement conductrice. Après cette approximation la conductivité du sol est prise en compte en corrigeant les valeurs obtenues pour un sol parfait.
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REFERENCES
REFERENCES

[1] Guy Gérard, « Compatibilité Electromagnétique : Présentation Générale » ; Technique
de L’ingénieur, Vol. D, 1300.

[2] P. Degauque, J.Hamelin, « Compatibilité Electromagnétique, Bruits et Perturbations radioélectriques « , Collection Technique et Scientifique des Télécommunications. Edition Dunod, Paris 1990.

[3] F. Chauvet, « Compatibilité Electromagnétique : Introduction « , Techniques de l’ingénieur, vol. D, 1900-E 3750.1-D, 1900.E 3750.20.

[4] F. Gardiol, « Electromagnétisme », Traité d’électricité, Vol. III.

[5] M. A. Uman, « The Lightning Discharge », Academic Press, 1987.

[6] A.Zeddam, « Couplage d’une onde électromagnétique rayonnée par une décharge orageuse a un câble de télécommunication », Thèse de Doctorat d’état USTL-1, Juillet 1988.

[7] José Ribeiro, « Étude des risques de défaillances d’un réseau de télécommunications suite à des coup de foudre directs ou indécents », Thèse de doctorat d’état en électronique Université Blaise Pascal ,25 Décembre 2005.

[8] F. Rachidi, « La Foudre et Ses Effets Electromagnétiques », Ecole Polytechnique de Lausanne, Notes de cours, Eté 2004.

[9] M. Aguet et J. J. Morf, « Energie Electrique », Traité D’électricité, Vol. XII.

[10] K. Berger, R. B. Anderson, et H. Kroninger,  » Parameters of Lightning Flashes », Electra,

[11] C. A. Nucci, « Lightning –Induced Over Voltages on Overhead Power Lines .Part 1: Return-Stroke Current Models with Specified Channel-Base Current for the Evaluation of Return-Stroke Electromagnetic Field « , Cigré paper prepared within the frame work of task Force 33.01.01 of the CIGRE working Group 33.01,1994.Electra N°161,August 1995.

[12] David Orzan, « couplage externe et interne entre un champ électromagnétique et un réseau de lignes multifilaire », Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne, Thèse N° 1768 (1998).

[13] F. Rachidi, « Effets électromagnétiques de la foudre sur les linges de transmission aériennes modélisation et simulation » PHD Thesis, Ecole polytechnique Fédérale de Lausanne, 1991.

[14] M.A .Uman, D.Kenneth Mc Lain and E. Philip Krider, « The Electromagnetic radiation from finite antenna « . American Journal Physics, Vol.43/33,pp.33-38,January 1975.

[15] E. D. Sunde, « Earth Conduction Effects in Transmission Systems », Dover Publications, New York, 1968.

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  REFERENCES

[16] S. Mezoued, “ Couplage électromagnétique d’une onde de foudre avec une ligne ou un câble ”, Thèse de Magister, Université de Jijel.

[17] M. Rubinstein, ’’ An Approximate Formula for The Calculation of The Horizontal Electric Field from Lightning at Close, Intermediate, and Long Range ‘’, IEEE Transactions on EMC, vol. 38, N0. 3, August 1996.

[18] V. Cooray, ‘’Underground Electromagnétic Fields Generated by the Return Strokes of Lightning Flashes’’, IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, vol. 43, pp. 75-84, 2001.

[19] E. Petrache , « Lightning Induced Disturbances in Buried Cables – Part I: Theory « , IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, vol. 47, N°.3, August 2005.